Физика на кухне
Мы публикуем расширенную фрагмент текста лекции доктора физико-математических наук, профессора университета «Тор Вергата» (Рим), ведущего научного сотрудника Института сверхпроводимости и инновационных материалов Национального Совета по науке (Италия), ведущего научного сотрудника лаборатории «Сверхпроводящие метаматериалы» в НИТУ МИСиС (Москва) Андрея Андреевича Варламова. Текст лекции
Добрый вечер всем, мне очень приятно вас видеть. Я надеюсь, что мы с толком проведем эти полтора часа. Действительно, то, что я сегодня буду рассказывать, произрастает из журнала Квант. Поверьте мне, я не занимаюсь пропагандой, но журнал Квант был и остается действительно уникальным в мире. Я побывал во многих странах, преподавал в разных университетах и разговаривал с людьми, занимающимися популяризацией. Уникальная черта журнала Квант – в нем не боялись писать формулы. А ведь, как сказал Стивен Хокинг, каждая формула в тексте отпугивает половину читателей, а геометрическую прогрессию вы суммировать умеете.
Книга, которую сейчас показал Борис, и которую издал находящийся здесь Алеша Овчинников, тоже не боится формул. Сейчас она на готовится к изданию уже на седьмом языке – на французском. И условие издателя, которого почти сразу нашел мой соавтор, французский академик Жак Виллен, было убрать из текста формулы. Но это на себя взял Жак, я формулы вычеркивать не умею. Тем не менее, сегодня я постараюсь, чтобы их было немного и они были бы понятны. Гуманитариев прошу потерпеть.
Итак, почему физика на кухне? В принципе, я мог бы рассказать и про что-нибудь другое. И про явление сверхпроводимости и про нано-технологии. Возможно, что, рано или поздно, у нас эти разговоры тоже состоятся.
Знаете пословицу, «Неофит святее Папы?» Когда я впервые попал в Италию, где я работаю последние 13 лет, то быстро понял, что в центре здешнего мироздания находится кухня. За столом не говорят о политике, а начинают с того, что каждый рассказывает, что кушали вчера за закуской. За первым блюдом обсуждаем, что едим сегодня, а с десертом мечтательно, что будем есть завтра. Нужно было как-то на это откликнуться. Мы еще помним, как Владимир Ильич Ленин говорил, что искусство должно быть понятно народу. Не понято, а понятно (кажется, в исходной цитате понято народом. Но часто, тем не менее, читалось, как понятно). Многие вещи, которые итальянцам понятны от рождения, неофиту хочется понять. Соглашаешься, что должно быть так, а не иначе, но хочется понять, почему. Поскольку первое блюдо в Италии по умолчанию означает пасту (бывают супы, конечно, однако под первым все-таки понимается именно паста), то обсуждение физики на кухне я начну именно с физики пасты. Но как предварительный этап, я отправлюсь в Америку. Для того чтобы вывести формулу для пасты, я, для начала, выведу главную формулу кулинарии и сделаю это на примере варки мяса.
Главная формула кулинарии
А чем оно отличается от мяса жареного? Процесс варения мы уже понимаем –бросаем мясо в воду. При нормальном атмосферном давлении в обычной кастрюле вода кипит при 100 градусах. Можно вычислить за какое время температура в центре куска мяса достигнет необходимых 75 градусов и во всем его объеме произойдет компактификация протеинов. А жарка? Мясо жареное, или сделанное на гриле, очень сильно отличается от вареного. Другой цвет, другой вкус. Оказывается, что если температура поднимается существенно выше температуры денатурации, то в протеиновом ковре может произойти так называемая реакция Майяра. Она была открыта в 1912 году французским химиком и врачом Луи Камиллом Майяром и заключается в химической реакции между аминокислотами и сахаром. Оказывается, что в нашем коврике не все связи одинаковы. В плоскости одни, а поперек – другие. При достаточно высокой температуре (для говядины это около 140 градусов), в процессе реакции Майяра происходит карамелизация части связей, что приводит к появлению характерного вкуса жареного мяса У растительного масла нет конкретной температуры кипения, существует характерная температура, когда оно начинает дымить. Для оливкового масла это температура около 180 градусов.
Я не химик, и со скользкой для меня темы ухожу. Давайте вернемся к уравнениям, так будет лучше. Давайте сформулируем модель процесса варения куска мяса. Гейгель когда-то советовал, купая ребенка и выливая воду из ванночки быть внимательным, чтобы вместе с грязной водой не выплеснуть и ребенка. Вот об этом должен всегда думать физик, когда формулирует модель задачи. Потому, что в отличие от математика, который решает точные задачи, физик всегда должен сделать некоторые приближения.
Окружающий нас мир -- очень сложный, а мы должны придумать такую модель, которая позволит и описать суть явления, и, в то же время, быть решаема математическими методами. Поэтому нужно и суть явления ухватить и не переусложнить задачу.
Давайте начнем обсуждение со случая куска мяса сферической формы. Помните анекдот про математика и физика на ипподроме? Физик встречает там математика и спрашивает:
-- Ты что играешь на тотализаторе?
Математик отвечает:
-- Да нет, я строю теорию игры на тотализаторе…
Физик:
--Успешно?
Математик:
--Пока мне удалось решил задачу о движении сферической лошади в безвоздушном пространстве…
Бывает, берешь варенную, курицу а у нее около косточки мясо еще сырое... Хотелось бы, чтобы такого не случилось и процесс денатуризации произошел во всем объеме «мясного шара». Итак, у меня имеется сферический кусок мяса диаметром d, с начальной температурой T0 и он попадает в окружающую среду с температурой Tк=100 0С.
Понятно, что от поверхности внутрь начинает распространяться поток тепла. Чтобы правильно описать этот процесс надо бы написать дифференциальное уравнение, называемое уравнением теплопроводности. Это уравнение утверждает, что в любой точке производная температуры по времени равна минус коэффициенту теплопроводности среды умноженному на лапласиан температуры вычисленный в той же точке:
Думаю, что несколько человек сидящих в зале поняло, о чем я говорю. И все же, дифференциальное уравнение мы решать не будем, давайте проведем его размерный анализ.
В физике очень многие вещи можно понять, не решая уравнений. Достаточно проанализировать размерности физических величин: размерность в левой части уравнения должна совпадать с размерностью его правой части. Это позволяет во многих случаях понять, что происходит. Умному студенту зачастую удается сдать экзамен, даже не будучи заранее подготовленным к заданному вопросу, если он сумеет написать профессору правильную формулу из анализа размерности. Лучше, если человек сумеет написать оценку по размерности, показывая, что он понимает суть явления, чем просто способен зазубрить.
Итак, давайте проанализируем физическую размерность левой и правой частей нашего уравнения. Я не призываю вас сократить температуру по дифференциалу, это было бы слишком. Но если я напишу размерность левой части, то тут будут градусы, которые сократятся с ними же, находящимися в правой, а в знаменателе останется размерность времени, -- секунды. Обратимся к правой части. Здесь, прежде всего, содержится будет какая-то неизвестная, с первого взгляда, размерность теплопроводности, а в знаменателе будет квадрат радиуса.
Понятно, что если я возьму шар в два раза большего диаметра, то время, чтобы время, за которое необходимая температура достигнет центра, возрастет в четыре раза. Согласны? Поэтому, для времени варки мяса я напишу формулу указывающую на то, что оно должно расти пропорционально квадрату диаметра.
t = аd2+b
Здесь а и b суть некоторые коэффициенты. Понятно, что коэффициент а ответственен за «время доставки» тепла. Первое слагаемое в правой части говорит нам сколько времени нужно, чтобы повысить температуру в центре шара до необходимых 75 градусов. Что же касается второго слагаемого, то коэффициент b определяет время необходимое на прохождение самого процесса денатуризации протеинов в объеме, где уже установилась необходимая температура.
Видите, я, особо вас не напрягая, получил симпатичную формулу. А вот есть более аккуратные люди. Один англичанин, Питер Бэрхэм, не поленился, и для варки яйца всмятку вывел точную формулу. Как? Он взял уравнение, которое я вам написал, переписал его в эллиптических координатах (яйцо это с хорошей точностью эллипс), аккуратно решил и получил точную формулу. Главный вывод его теории заключается в том, что время варки яйца всмятку время зависит от массы яйца как (коме того, в ней фигурирует начальная температура яйца, температура компактификации желтка и температура кипения воды). Понятно, что масса в степени 2/3 – это, с точностью до коэффициентов, то же самое, что и диаметр в квадрате. Таким образом, моя оценка, сделанная по теории размерностей, дала правильную зависимость.
Теперь давайте отправимся в Америку. Сегодня 23 число, предпоследний четверг ноября, День Благодарения, в Америке съедят порядке 40 миллионов индеек. Обычно, когда вы покупаете индейку в супермаркете, то на упаковке написано, сколько времени ее надо жарить. Однако у каждой хозяйки есть свой рецепт. Временами я слышал совет на каждый лишний фунт веса добавлять 15 минут пребывания индейки в духовке. Это – неправда, мы ведь уже убедились, что время «доставки температуры» до центра зависит от массы нелинейно. Я залез в интернет и нашел там такую таблицу рекомендуемых времен:
Я на глаз корреляции не вижу. Выросла масса в 4 раза, а время выросло чуть больше, чем в 2. Давайте воспользуемся моей формулой. Как экспериментаторы делают? Очень важно выбрать координаты, подходящие для задачи. В нашей задаче есть t в первой степени, а масса в степени 2/3. Поэтому я предлагаю взять эту таблицу и изобразить соответствующие данные в виде графика в координатах куб времени квадрат массы. Посмотрите, на какую хорошую прямую линию они ложатся!
Но это не просто торжество теории над практикой. Прежде всего ясно, по углу наклона я могу найти параметр a. Он определяется теплопроводностью мяса и не в нем сейчас суть. Гораздо важнее, что по осям координат стоят кубы часов, и квадраты фунтов. Посмотрите теперь куда идет эта прямая. Видно, что с хорошей точностью она идет в 0.
Следовательно, в масштабе часов b практически равно нулю. Это означает, что реально для прохождения процесса денатурализации и реакции Майяра нужны лишь минуты, что в масштабе часов есть 0. Все часы пребывания индейки в печи нужны, чтобы необходимая температура дошла до глубины. Какая температура? Температура соответствующая реакции Майяра, 140 градусов, если мы хотим есть индейку запеченную, а не варенную. И нужно, чтобы эта индейка пропеклась во всем объеме. Можно бы температуру в духовке поставить побольше, но тогда велика вероятность индейку сжечь. Температуру следует установить чуть выше необходимых 140 градусов, чтобы тепловая волна шла внутрь, однако не обожгла периферию. Часто, для спасения поверхности, индейку вытаскивают из печи, поливают жиром, а затем отправляют обратно. О температуре поверхности у мы еще много будем говорить обсуждая физику пиццы. В кулинарии часто возникает необходимость примерить два противоречивых требования: с одной стороны пропечь, с другой стороны не сжечь.
Спагетти и физика
Что значит сварить макароны? Во-первых, их нужно нагреть. Если я брошу макароны в холодную воду, то пасты у меня не получится. Во-вторых, я должен пропитать их объем водой, если я их просто в печку положу, то тоже пасты не получится. Если раньше я решал задачу только о доставке тепла, о повышении температуры, то здесь я должен решить задачу еще и о доставке воды. Паста была специально высушена на фабрике, и мне надо восстановить воду в ней. Вы это уравнение уже видели -- красивое уравнение теплопроводности. А вот это -- уравнение диффузии, описывающее как изменяется концентрация воды от времени, от координаты в цилиндре, который моделирует пасту.
Последнее оказывается математически эквивалентным уравнению теплопроводности. Те же уравнения, те же решения, поэтому я снова напишу формулу, говорящее о том, что время приготовления, есть ad2+b. И оказывается не так уж важно, что раньше у меня была сфера, а теперь цилиндр. При рассмотрении вопроса о варке пасты оказывается удобней работать не с массой, а именно с диаметром. Коэффициент а определяется теплопроводностью и коэффициентом диффузии, но для меня это не важно, я буду определять а эмпирически. Что касается параметра b, то мы с вами видели, что для индейки он практически равен 0. В случае варки пасты параметр b, как мы увидим, от нуля отличается и я утверждаю, что его величина зависит от национальности едока.
Признайтесь честно, Тут, вероятно, присутствуют многие люди, которые варят макарон:, вы действительно их варите столько минут, сколько итальянцы пишут на обертке?
- Да.
- Это новое поколение. А старое поколение? Наши мамы конечно варят дольше. А итальянцы недоваривают, даже по сравнению с тем, что написано! Почему? Да потому, что макароны, после того как они отброшены на дуршлаг, должные еще отправиться в сковородку с соусом. И там они еще будут доходить. Поэтому надо на минуту-две не доварить по сравнению с тем, что написано на пачке. Поэтому для итальянцев коэффициент b должен быть отрицательным. Я вам сейчас это докажу с цифрой в руках.
Что означает термин паста «al dente»? В моей модели этому соответствует тот факт, что вода и (или) температура не дошла до оси цилиндра. Центр спагетти остался сырым. На практике это, конечно, не совсем так. Мы понимаем, что в тесте во время варки происходят сложные физико-химические процессы, диффузия, нагревание, денатуризируются крахмалы, где-то в молекулы входит вода. Моя же модель проста -- донести воду и необходимую температуру почти до центра. Все. Посмотрим, «не выбрасываю ли я вместе с грязной водой ребенка», смогу ли я построить разумную теорию.
Я пошел в супермаркет и купил всю цилиндрическую пасту, которая там была: Capellini №1, Spaghettini № 3, Spaghetti № 5, Vermicelli № 7, Vermicelli № 8, Bucottini . Последние уже настолько толстые, что в них имеется отверстие, это, своего рода, тонкие макароны. Затем пошел в лабораторию к Александру Салимовичу, который здесь присутствует, взял штангенциркуль и все это промерил. Получилась следующая таблица:
В нашей формуле, t=ad2+b имеется два неизвестных параметра -- a и b. Я не стану их выискивать в интернете, а определю их по-простому. А именно, я возьму в качестве реперных точек, Spaghettini № 3 и Vermicelli № 8 (крайние строки таблицы брать не стоит, это может привести к большей ошибке). Для оптимального приготовления спагетти производитель рекомендует 5 минут (так , что написано на пачке). Примем это за величину экспериментально проверенного времени варки. Для vermicelli № 8 соответствующее время составляет 13 минут. Итак, у меня имеется два уравнения связывающие известные времена приготовления двух типов цилиндрической пасты с известными же их диаметрами. Неизвестными остаются параметры a и b. Решив два алгебраических уравнения с двумя неизвестными, получаем
Пользуясь найденными параметрами «предсказываем» времена и для всех остальных имеющихся у нас макаронных изделий. Видим, что моя формула работает замечательно в середине таблицы, и дает сбои по ее краям. Действительно, не очень ладится с capellini: имеем 2.2 минуты вместо рекомендуемых трех, ну а с Bucаttini вообще большая беда, -- тут наша формула дает 25 минут вместо 8. Это просто какое-то торжество практики над разумом. Давайте попробуем разобраться.
Начнем с букаттини. Скажите, пожалуйста, как вы думаете, а зачем дырку сделали? Имеются две возможные причины. Первая – если есть дырка, то не нужно гнать тепло вплоть до самого центра через внешнюю поверхность, поскольку все равно туда вода зальется. В качестве второго объяснения, возможно, мне кто-то скажет, что, благодаря внутреннему отверстию, окажется потока тепла, один извне, другой изнутри? Как вы думаете, изнутри пойдет поток или нет? Не пойдет. Для того, чтобы пошел стационарный поток тепла, недостаточно, чтобы внутри букаттини вода имела температуру 100 градусов. Возьмите кастрюлю с водой и положите в нее маленькую кастрюльку, будет в ней кипеть вода? Не будет, мало того, что вокруг 100 градусов, надо чтобы огонь под большой кастрюлей все время поставлял все новую и новую энергию. То же самое, происходит и с длинным Bucottini. Вода действительно в первый момент входит с температурой 100 градусов, но далее, где брать энергию для теплопереноса внутрь теста? Поэтому я возьму мою формулу t = ad2+b, которая учитывает только поток извне, и вычту в ней из диаметра размер центральной части, которую греть уже не надо, там уже есть вода со своими 100 градусами. Подставляю мои числа и вижу, что теоретическое время варки у меня получается 7,5 минуты вместо рекомендуемых 8.
t = a(D-d)2 + b ≈ 7,5 мин.
Вот это действительно здорово!
Итак мы видим, что я придумал теорию, она работает в каком-то диапазоне, но как только я вышел за его пределы, то теория перестала работать. За 25 минут у меня тесто просто в кашу превратится! Тогда я усложняю мою теорию, учитываю центральную часть, и теория снова замечательно работает. Это неплохой пример который показывает, как работает физик-теоретик. Ты придумываешь некую модель, она работает в каких-то пределах, которые ты заранее должен оговорить, а на границах может отказывать, тогда надо пересматривать теорию.
Теперь давайте разберемся со второй неприятностью. Capellini тоненькие, у них диаметр. Всего 1,15 мм. Рекомендуют нам 3 минуты, а у нас получилось 2.2. А чего вы хотели? Из нашей формулы, если хотите знать, следует, что есть такая толщина, при которой можно есть эти макароны сырыми. Я же сказал aldente, что значит на зуб. Это означает, что в моей модели тепло до центра не доходит. Давайте посмотрим, какая же в моей модели должна быть толщина макарон, чтобы их можно было есть сырыми. Время приготовления положим равным 0, следовательно
ad2 + b = 0.
a – величина положительная, а b отрицательная, следовательно это уравнение имеет корень. Видим, что соответствующее критическое значение d есть 0,85 мм. Т.е. по моей логике гипотетическую пасту с диаметром 0,85 мм вообще не надо готовить. А 1,15 мм – это уже совсем рядом. Т.е. пока было 2 мм – все хорошо, когда же мы приближаемся к 1 мм, то теория перестает работать.
Макароны служат и индустрии. Однажды одна швейцарская фирма взялась изучать, как вязать рыболовные сети. Инженеры фирмы сделали математическую модель из которой следовало, что самые опасные места в смысле разрыва оказываются вот эти вот в узлах. И решили это проверить экспериментально, но на настоящей сети у них не получилось. В те времена у них не было быстрой камеры, и как рвется капрон, они уследить не смогли. Тогда было предложено остроумное решение. Инженеры взяли спагетти, сварили, облили оливковым маслом, завязали узлами и стали изучать процесс разрыва на медленной камере.
Видел ли кто-нибудь, чтобы макароны при варке заузливались? Никто не видел. А почему они не заузливаются? Вы думаете, это так просто? Я задал себе вопрос, какой длины должна быть макаронина, чтобы она заузливалась? Почему провод от наушников заузливается всегда, а макароны нет? Более того, из 5000 аминокислот заузливается гораздо меньше, чем должно бы из современных теоретических представлений . У меня есть коллега и друг, Александр Гроссберг -- большой специалист по узлам. Много лет назад он был профессором в МГУ, сейчас - профессор Нью-Йорке. Как-то я попросил его ответить мне на вышеуказанные вопросы, но он сказал, что задача о заузливании длинной веревки пока до конца не решена. Пока не найдена формула, которая определяла бы аналитически вероятность заузливания. Есть численные модели, но хорошей теории нет.
Из общих принципов статистической механики понятно, что вероятность самозаузливания шнура определяется экспонентой в степени которой стоит его длина деленная на некую величины размерности длины γξ, все со знаком минус:
.
Что такое здесь ξ, и что такое γ? Величина ξ это та характерная длина шнура, на котором он может изменить свое направление на прямой угол /2. У наушников провод изгибается очень легко, можно сказать, что ξ меньше одного сантиметра. А вот этот провод почти совсем не гнется. Итак, ξ это характерная длина материала, характеризующая его упругость на изгиб. А γ - это тот численный коэффициент, который пока получается только в результате счета на компьютере. Удивительно то, что γ оказывается огромным - около 300 , дело редчайшее. Но именно поэтому не заузливаются спагетти и аминокислоты. Давайте оценим вероятность заузлится для спагетти. Примем ξ 2-3 см. Тогда, для того, чтобы спагетти заузливались с 10% вероятностью, , их длина должна быть порядка 1 м. А стандарт для макарон – 23 см.
Наконец, я хотел бы провести эксперимент. Все знают про Нобелевскую премию. Благодаря журналистам, наверно, все знают и про Ignobleprize, по-русски Шнобелевская премия. Ignobleprize 2007 г. была дана двум французам Одули и Неукричу. За что – сейчас расскажу.
Возьмем спагеттину за концы и изогнем ее в дугу. Представляется очевидным, что при дальнейшем изгибе рано или поздно она, где-нибудь около середины, разломается на две части. Оказывается, что в этом случае интуиция нас подводит, обломков почти всегда окажется три и более.
Такое необычное свойство спагетти привлекло к себе внимание многих ученых, среди которых был и Ричард Фейнман. И только совсем недавно, в~августе 2005 года, благодаря исследованию двух французских физиков, Одули и Неукрича, появилось количественное объяснение этого явления, которое, возможно, найдет свое дальнейшее развитие в науке о сопротивлении материалов и применения в строительстве. Ученые исследовали поведение тонкого упругого стержня под воздействием деформации изгиба. Для этого они воспользовались так называемым уравнением Кирхгофа, записав его для искривленного упругого стержня, сначала с двумя закрепленными концами. Затем они изучили, что произойдет с распределением напряжений в стержне при его разломе в произвольной точке. Решение оказалось возможным найти лишь численно, однако и это позволило понять физику. Допустим, что в~результате приложенного механического напряжения изгиба в самом слабом месте спагеттины проходит первый излом. Казалось бы, что после него обе образовавшиеся части должны вернуться к своим положениям равновесия. Однако этот процесс происходит весьма сложным и неоднозначным образом. Сразу же после первого излома в обоих частях стержня возникают упругие волны изгиба, которые распространяются вдоль них. Они приводят к возрастанию в определенных областях стержня локального напряжения изгиба по сравнению с уже имеющимся статическим изгибом, предшествующим первому излому. В результате, в этих местах сгущения изгибного напряжения могут происходить дальнейшие изломы стержня. Конечно, такие упругие волны, порожденные первым изломом, затухают со временем, однако они при определенном соотношении между длиной стержня и его упругими свойствами могут привести к последующей фрагментации стержня. Замечательно, что проведя свои сложные расчеты ученые убедились в правильности своих выводов с помощью замедленной съемки экспериментов со спагетти скоростной кинокамерой.
Обсудить
Комментарии (0)